10 клас алгебра

АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

Тема. Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості

Мета уроку. Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь n-го степеня і арифметичний корінь n-го степеня. Вивчення властивостей коренів n-го степеня. Виховувати культуру розумової праці. Розвивати пам'ять, логічне мислення, увагу.

Хід уроку.

I. Повторення відомостей про квадратний корінь

Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з використанням таблиці 1.

Питання до класу

1. Що називається квадратним коренем з числа?

2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел: а) 25; б)16; в) 100; г) 0; д) -10?

3. Чому квадратний корінь з від'ємного числа не існує?

4. Що називається арифметичним квадратним коренем з числа а?

Таблиця 1

Квадратні корені
Означення квадратного кореня з числа а:	Означення арифметичного квадратного кореня з числа а:
число, квадрат якого дорівнює а.
Корінь рівняння: х2 = а.	Тотожності  = а,  а > 0.  = |a|, aR. Основні властивості , , . , , . , , kN. ,

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 2)

Коренем n-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 23 = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 34 = 81, (-3)4 = 81.

Згідно даного означення, корінь п-го степеня — це корінь рівняння хn = а. Число коренів цього рівняння залежить від n і а.

Якщо n — парне, тобто n = 2k, kN, то рівняння х2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.

Якщо n — непарне, тобто n = 2k + 1, kN, то рівняння х2k+1 = а завжди має лише один корінь.

Таблиця 2

Корінь n-гo степеня
Означення кореня n-го степеня з числа а: число, n -й степінь якого дорівнює а. Корінь рівняння: х2 = а	Означення арифметичного кореня n-го степеня з числа а:
	, ,…, - існують для аR. Якщо а < 0, то = - . , , … , - існують для а  0. Тотожності Якщо  існує, то = а . , аR , аR. Основні властивості  =  · ,, . , , .
	, , .

Невід'ємний корінь рівняння хn = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.

Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так: . Число nназивають показником кореня, число а — підкоре­невим числом (виразом).

Якщо n = 2, то замість  пишуть  і називають арифме­тичним квадратним коренем.

Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.

У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметич­ний корінь n-го степеня, коротко говорять «корінь n-го степеня».

Приклад. Знайдемо значення: а) ; б) ; в) ; г) .

а)  = 2, оскільки 23 = 8 і 2 > 0;

б)  = 3, оскільки 34 = 81 і 3 > 0;

в)  = 1, оскільки 15 = 1 і 1 > 0;

г)  = 0, оскільки 0100 = 0.

Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел, отже, вираз  має смисл, якщо  і набуває невід'ємних значень.

Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.

Для коренів непарного степеня справедлива рівність = – .

Дійсно .

Рівність = –  дозволяє виразити корінь непарно­го степеня з від'ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.

Приклад. Знайдемо значення: а) ; б) ; в) .

a)  = -  = -2; б) = -  = -2 ; в) = -  = -3 .

Отже, вираз  має смисл для будь-якого а  R і може набувати будь-яких значень.

Виконання вправ

1. Вправа № 7 до розділу III.

2. Розв'яжіть рівняння:

а) х3 = 64; б) х5 = - ; в) х4 = 81; г) х6 = - 64; д) х3 = 15; е) х4 = 15.

Відповідь: а) 4; б) - ; в) 3; - 3; г) немає коренів; д) ; е) ; - .

3. Знайдіть область визначення функцій:

а) у =; б) у = ; в) у = ; г) у = ;    д) у = +; е) у = .

Відповідь: а) х  2; б) хR; в) х  3; г) х ≠  0; д) 0; е) не визначена.

Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степе­ня випливає:

1. Якщо  існує, то ()n = а . 2.  3.

Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні вла­стивості мають і корені n-го степеня.

Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і b добуток коренів n-­го степеня із чисел a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку: ·=.

Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки: .

Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід'ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а: .

Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін: .

Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкоре­невого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число: .

Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3—5:

3) Так як а  0, то ліва і права частини формули невід'ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює аk. Згідно з властиво­стями степенів з цілим показником маємо: 

4) При а > О ліва і права частини невід'ємні. Тоді         . Отже, .

5) Згідно з означенням кореня  — це таке невід'ємне чис­ло, n-й степінь якого дорівнює аmp, тобто досить довести .

Маємо .

Виконання вправ

1. Знайдіть значення виразів:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Відповідь: а) 1,5;  б) 1,2; в) 0,5; г) 2,5; д) .

2. Обчисліть:

а) ·; б) ·; в) ; г) .

Відповідь: а) 10; б) 6; в) 3; г) 2.

3. Знайдіть корінь із степеня:

а) ;  б) ;   в) ; г) .

Відповідь: а) 125;   б) 0,09;   в) 0,72;  г) 16.

4. Спростіть вирази:

а) ;  б) ;  в) ;  г) .

Відповідь: а)  = ;   б) ;   в) ;   г) .

IV. Підсумок проведення уроку

V. Домашнє завдання
Опрацювати п. 23, 24, виконати №464, 466, 487, 490

Тема. Перетворення коренів

Мета уроку. Познайомити учнів з найпростішими перетворення­ми радикалів: винесення множника за знак радика­ла; внесення множника під знак радикала; зведення радикалів до найпростішого (нормального) вигля­ду; ознайомлення з поняттям подібних радикалів.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальна бесіда за № 464, 466

2. Виконання вправи № 490 біля дошки

II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про винесення множника за знак радикала і внесення множника під знак радикала

Вивчені властивості коренів дають змогу виконувати пере­творення коренів.

1. Винесення множника з під знака радикала.

В деяких випадках підкореневий вираз розкладається на множ­ники так, що із одного чи декількох із них можна добути точ­ний корінь. Добувши корені із цих множників, одержані чис­ла можна записати перед знаком кореня. Таке перетворення називається винесенням множника за знак радикала.

Наприклад:

;     ;

; 

.

Взагалі, якщо a  0, b  0, то .

Якщо a — довільне, то  ; .

Виконання вправ

1. Винесіть множники за знак радикала:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 3;   б) 5;   в) ( – 1) ;   г) (1 – ) .

2. Винесіть множники за знак кореня, якщо а > 0, b > 0:

а) ; б) ; в) ;  г) .

Відповідь: а) 4a2b3 ; б) a3b ; в) – 4a3 ; г) 3a3 .

3. Винесіть множники за знак кореня:

а) ; б) ; в) ;  г) .

Відповідь: а) 4a2b3 ; б) 2|а|3|b|; в) |а|; г) – 4a3 .

2. Внесення множника під знак кореня.

Перетворення, обернене до винесення множника за знак ко­реня, називається внесенням множника під знак кореня.

Наприклад: 2 =  = ;   3 =  ·  =  = ;

a  =  ·   =  = , якщо а > 0;

Взагалі:      

1)    Якщо а  0, b  0, то а = . 2)    Якщо а — довільне, то ;

 

Виконання вправ

1. Внесіть множник під знак кореня:

а) 3;  б) –2; в) (1 – ); г) (1 – ).

Відповідь: а) ; б) - ; в) ; г) - .

2. Внесіть множники під знак кореня, якщо а > 0, b > 0:

а) – b;  б) аb;  в) а;  г) – аb.

Відповідь: а) –; б) ; в) ; г) .

3. Внесіть множники під знак кореня:

а) а;  б) а;  в) – аb.

Відповідь: а) ; б) , якщо а  0, – , якщо а < 0; в) –, якщо b  0, , якщо b < 0.

III. Сприймання і усвідомлення зведення радикалів до найпростішого вигляду, поняття подібних радикалів

Будемо вважати, що радикал приведено до простішого вигля­ду, якщо: підкореневий вираз не містить дробів; раціональні множники винесено за знак кореня, показник кореня і показ­ник степеня підкореневого виразу скорочено на їхній найбіль­ший спільний множник.

Приклад. Приведемо радикали до простішого вигляду:

1) ;   2) .

Радикали називаються подібними, якщо після приведення їх до простішого вигляду вони мають рівні підкореневі вирази і однакові показники.

Наприклад, подібними є радикали: а) 3;а;; б) 5;; (а–1).

Раціональний множник, який стоїть перед знаком радикала, називається коефіцієнтом. Наприклад, 3. У цьому виразі 3 є коефіцієнтом.

Щоб стверджувати, що радикали подібні чи ні, їх треба при­вести до простішого вигляду.

Наприклад,  і  подібні, оскільки ==3, а ==2.

IV. Підведення підсумків уроку

V. Домашнє завдання

Опрацювати п. 25, виконати №516, 518, 520.

Тема. Дії над радикалами

Мета урокую Познайомити учнів з діями над радикалами: дода­вання і віднімання, множення і ділення; піднесення радикала до степеня; добування коренів з радикалів; зведення до раціонального вигляду членів дробових ірраціональних виразів.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Три учні відтворюються розв'язування вправ № 520 на дошці.

2. У цей час клас порівнює (усно) вирази, подані в таблиці 3.

Таблиця 3

	1	2	3	4
1	*	*	2 * 3	2 * 3
2	*	*	*	*
3	*	*	*	*
4	*	1 *	* 1	*

3. Відповіді на запитання учнів, що виникли в процесі виконан­ня домашнього завдання.

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

1. Додавання і віднімання радикалів виконується так само, як і додавання і віднімання раціональних одночленів (много­членів).

Приклади:

3 – 5 + 12 = 3·2 – 5·3 + 12·5 = 6 – 15 +  60 = 51;

 – (2 – 3) = 4 – 2·3 + 3·2 = 4 – 6 + 6 = 4.

2. При множенні (діленні) радикалів з різними показниками спо­чатку їх треба привести до одного показника, а потім перемно­жити (поділити) підкореневі вирази і записати добуток (час­тку) під знак кореня з тим самим показником.

Приклади:

 ·  =  ·  =  = ;  .

Виконання вправ № 525,527

3. При піднесенні радикала до степеня, можна піднести до цьо­го степеня підкореневий вираз, залишивши той самий показ­ник кореня.

Наприклад: .

4. Щоб добути корінь із радикала, можна із підкореневого ви­разу добути корінь з показником, що дорівнює добутку двох даних показників.

Наприклад: .

5. У деяких задачах корисно звільнятися від ірраціональних ви­разів у знаменнику дробу.

Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу — це оз­начає перетворити дріб, знаменник якого містить корені, до нового дробу, тотожно рівному даному, знаменник якого ко­ренів не містить.

Якщо знаменник дробу являє собою радикал чи добуток ра­дикала на раціональний множник, то слід чисельник і знамен­ник дробу домножити на таку степінь кореня того самого по­казника, щоб отримати степінь з показником, що дорівнює по­казнику кореня.

Наприклад: ; .

Якщо знаменник дробу є сума (або різниця) квадратних ра­дикалів, то дріб можна привести до раціонального вигляду, помноживши чисельник і знаменник на різницю (або на суму) тих самих радикалів.

Наприклад: ; , якщо a  0, a ≠ 1.

Якщо знаменник дробу є сума (різниця) кубічних радикалів, то, щоб позбутися ірраціональності в знаменнику, слід домножити чисельник і знаменник дробу на неповний квадрат різниці (суми) тих самих радикалів.

Наприклад: .

Виконання вправ № 529, 531

III. Підведення підсумків уроку

IV. Домашнє завдання

Опрацювати п. 25 №526, 532